전기기사 (회로이론 및 제어공학) 출제 빈도 No.4 안정도 판별법

전기기사 시험 중 회로이론 및 제어공학 영역에서 출제빈도가 네번째로 많은! 안정도 판별법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

이번 챕터에서는 총 두가지 개념이 나오는데요, 첫번째 루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 판별법, 두번째는 나이퀴스트 판별법을 소개하고자 합니다. 이 개념은 대학교 전기공학과 3학년 개정에 포함되어 있는 과목 교제인 ‘KUO의 자동제어’라는 책에 자세히 나와 있고, 수학을 좋아했던 필자에게는 정말 재미있게 공부했던 내용이었는데요, 실제로 공부를 같이 하는 친구들은 이해하기 힘든 과목 중에 하나라고 했던 것이 기억에 남습니다.

이해하기 힘들다고 포기하시지 말고 한가지 팁을 드리겠습니다!

제어를 하고 있는 시스템에서 안정한지 불안정한지 판단하는 것은 그래프를 그렸을 때, 그래프의 4분면 안에서 안정성이 되는 영역이 있고 안되는 영역이 있습니다. 안정한지 불안정한지의 영역만 파악한다면 기출 문제를 푸는 데는 이 보다 쉽게 점수를 얻어갈 수 있는 챕터도 없습니다.

그렇다면 지금부터 안정도 판별법의 두가지 개념을 소개하도록 하겠습니다.

루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 안정성 판별법

루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 안정성 판별법은 제어 시스템의 안정성 여부를 결정하는 중요한 방법론 중 하나입니다. 이 방법론의 주요 특징은 제어 시스템의 전달함수에서 분모 다항식의 계수만을 사용하여 시스템의 안정성을 판별하게 된다는 점입니다. 이를 통해 복잡한 계산 과정 없이도 시스템의 안정성 여부를 직관적이고 간편하게 알아볼 수 있어 매우 효과적인 방법론으로 알려져 있습니다.

루스-허위츠 판별법에서는 루스 배열을 통해 안정성을 판별합니다. 루스 배열을 구성하는 과정에서 불안정 근수와 안정 근수를 판별하는 특별한 방법이 존재합니다.

첫 번째 단계로, 전달함수의 분모 다항식을 s의 지수에 따라 내림차순으로 배열합니다. 이렇게 배열된 다항식의 계수들은 루스 배열의 첫 번째 행을 구성하게 됩니다.

두 번째 단계에서는 s의 지수가 짝수인 항들만을 골라내어 두 번째 행을 만듭니다. 이렇게 생성된 두 번째 행은 첫 번째 행과 함께 루스 배열을 구성하는 기본적인 틀을 제공하게 됩니다.

세 번째 단계에서는 이전 두 행을 이용하여 새로운 행들을 계산하고 생성합니다. 첫 번째 행의 첫 번째 항(a)과 두 번째 행의 첫 번째 항(b)를 이용하여 다음 행의 첫 번째 항을 계산하는데, 이때 계산 방법은 -b/a입니다.

이러한 계산 과정을 반복하면서 루스 배열을 완성해나가는데, 만약 계산하는 도중에 양수에서 음수로 바뀌는 경우가 발생한다면 불안정 근수가 존재한다는 것을 의미합니다.

마지막으로, 루스 배열의 첫 열에서 부호가 바뀌는 횟수를 세어 봅니다. 이때, 부호가 바뀌는 횟수가 바로 시스템의 불안정 근수의 개수를 나타내며, 전체 근수에서 이 불안정 근수를 뺀 값이 안정 근수의 개수가 됩니다.

나이퀴스트 판별법

나이퀴스트 판별법은 제어 시스템의 안정성을 판단하는 데 있어서 유용하고 효과적인 도구로서 널리 알려져 있습니다. 이 판별법은 시스템의 안정성을 심도 있게 이해하고 판단하는 데 중요한 역할을 합니다. 이 방법은 주파수 응답 방법의 개념을 활용하며, 이는 시스템의 전달함수를 복소 평면에 표현하여 그 안정성을 평가합니다.

나이퀴스트 판별법의 가장 큰 장점은, 이를 사용하면 시스템의 안정성을 직관적으로 시각화할 수 있다는 점입니다. 이로 인해 복잡한 수학적 계산 없이도 시스템의 안정성에 대한 이해를 증진시킬 수 있습니다. 이것은 제어 시스템의 안정성 판단에 있어 중요한 요소로 작용하여, 이론적인 이해와 실제 적용 사이의 간극을 줄이는 데 도움을 줍니다.

나이퀴스트 판별법의 절차는 다음과 같이 진행됩니다.

1. 먼저, 시스템의 전달함수를 복소수 jω에 대입하여 나이퀴스트 경로를 구합니다. 여기서 ω는 주파수를 나타내며, 이는 -∞에서 ∞까지의 값을 가질 수 있습니다.
2. 그 다음으로, 이렇게 구해진 나이퀴스트 경로를 복소 평면에 그립니다. 이때 복소 평면의 중심은 원점이며, 복소 평면의 오른쪽 반평면은 시스템의 안정성 영역을 나타냅니다.
3. 이후에는 나이퀴스트 경로가 원점을 중심으로 반시계 방향으로 몇 번 돌았는지를 확인합니다. 이때 도는 횟수를 N이라고 합니다.
4. 불안정 폴의 개수를 P라고 할 때, 안정 폴의 개수 Z는 다음과 같이 계산됩니다: Z = N + P.
5. 마지막으로, Z가 0이라면, 시스템은 안정적이라고 판단합니다. 그렇지 않다면, 시스템은 불안정하다고 판단합니다.

나이퀴스트 판별법에서 이득 여유와 위상 여유

나이퀴스트 판별법에서 이득 여유(Gain Margin)와 위상 여유(Phase Margin)는 시스템의 안정성을 판단하는 데 중요한 지표입니다.

이득 여유(Gain Margin)

이득 여유는 시스템의 안정성을 판단 데 사용되는 척도 중 하나로, 시스템이 얼마나 많은 이득 증가를 견딜 수 있는지를 나타냅니다. 특히, 이득이 얼마나 증가하였을 때 시스템이 불안정해지는지를 측정합니다. 이득 여유는 위상이 -180인 곳에서의 이득의 역수로 계산합니다. 이때, 이득 여유가 크다는 것은 시스템이 더 안정적이라는 것을 의미하며, 반대로 작다면 시스템이 불안정에 가깝다는 것을 의미합니다.

위상 여유(Phase Margin)

위상 여유는 시스템의 위상 변화에 대한 견딜 수 있는 능력을 나타내는 척도입니다. 이는 시스템의 위상이 얼마나 변했을 때 시스템이 불안정해지는지를 측정합니다. 위상 여유는 이득이 1(0dB)일 때의 위상에서 -180도를 뺀 값으로 계산합니다. 위상 여유가 크다는 것은 시스템이 더 안정적이라는 것을 의미하며, 반대로 작다면 시스템이 불안정에 가깝다는 것을 의미합니다.