전기기사 (회로이론 및 제어공학) 출제 빈도 No.3 상태방정식

전기기사 시험 중 회로이론 및 제어공학 영역에서 출제빈도가 세번째로 많은 상태방정식에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

이 파트에서는 상태방정식과 특성방정식, z-변환에 대해서 알게 될 텐데요, 기출 문제를 처음 본 분들은 막막하다고 느낄 수 있으나 문제유형이 다양하지는 않아 한, 두가지 정보만 터득하면 쉽게 접근할 수 있는 문제 유형이기도 합니다.

z-변환식은 꼭 외워주시길 바랍니다!

문제 푸는 방법은 추후에 업데이트를 할 예정입니다. 아래 내용은 이해를 돕기 위해 작성되었습니다.

상태방정식

상태방정식(state equation)은 제어 시스템의 동작을 수학적인 언어로 정확하게 표현하는 방법 중 하나입니다. 이를 통해 시스템의 '상태'를 정의하고, 이 상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 알아볼 수 있습니다. 여기서 '상태'라는 개념은 시스템이 미래에 어떤 행동을 할지를 결정하는 데 필요한 최소한의 필수 정보를 의미합니다.

상태방정식은 벡터적인 것을 기반으로 한 시스템으로 나타내면, 내부의 상태를 상세히 파악하여 제어가 가능한지 판단하고, 불안정한 상태를 안정한 상태로 만들기 위해서 어떤 방법들이 있는지 확인해 볼 수 있습니다.

상태방정식은 수학적 형태로 보자면 대부분 미분방정식의 형태를 가지고 있습니다. 그 중에서도 선형 시불변(LTI: Linear Time-Invariant) 시스템에 대한 상태방정식은 특히 주목할 만한데, 이는 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

 

dx/dt = Ax + Bu y = Cx + Du

 

상태방정식의 각 요소는 다음과 같은 의미를 가집니다.

x는 상태 벡터로, 시스템의 현재 상태를 나타내는 변수입니다.

A는 시스템 행렬로, 시스템의 동적 특성을 표현하는데 사용됩니다.

B는 입력 행렬로, 외부 입력이 시스템의 상태에 어떻게 영향을 미치는지를 나타내는 요소입니다.

u는 입력 벡터로, 외부에서 주어지는 입력을 나타내는 변수입니다.

y는 출력 벡터로, 시스템의 출력을 나타내는 변수입니다.

C는 출력 행렬로, 시스템의 상태가 출력에 어떻게 영향을 미치는지를 나타내는 요소입니다.

D는 직접 이동 행렬로, 입력이 출력에 직접적으로 미치는 영향을 나타내는 행렬입니다.

상태방정식은 제어 시스템의 분석 및 설계 과정에서 핵심적인 도구로 활용됩니다. 특히, 상태 피드백 제어, 최적 제어, 관찰자 설계 등의 고급 제어 기법에서는 상태방정식이 필수적으로 사용되는데, 이는 시스템의 동작을 이해하고 예측하는 데 있어 굉장히 중요한 역할을 수행하기 때문입니다.

특성 방정식

상태변이행렬에서 특성방정식은 매우 중요한 개념입니다. 특성방정식은 시스템의 안정성, 고유치(eigenvalues), 그리고 고유벡터(eigenvectors) 등을 결정하는데 사용되는 방정식입니다.

상태변이행렬 A의 특성방정식은 다음과 같이 정의됩니다: det(A - λI) = 0. 여기서 det는 행렬의 행렬식을 계산하는 연산자, I는 단위행렬, 그리고 λ는 고유치를 나타냅니다.

특성방정식은 A의 고유치를 찾는 데 사용되며, 이 고유치들은 시스템의 동적 행동을 결정합니다. 고유치의 값에 따라 시스템은 안정, 불안정, 또는 한계 안정 상태를 가질 수 있습니다.

모든 고유치의 실수 부분이 음수인 경우, 시스템은 안정적입니다. 이는 시스템의 모든 상태가 시간이 지남에 따라 0으로 수렴한다는 것을 의미합니다.

하나 이상의 고유치의 실수 부분이 0이고 나머지 고유치의 실수 부분이 음수인 경우, 시스템은 한계 안정 상태를 가질 수 있습니다. 이는 시스템의 상태가 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하지 않을 수 있지만, 무한대로 발산하지도 않는다는 것을 의미합니다.

따라서, 상태변이행렬의 특성방정식을 통해 시스템의 동적 행동을 분석하고 예측하는 것이 가능합니다. 이는 제어 시스템을 설계하고 분석하는 데 중요한 기초가 됩니다.

 

Z-변환

Z-변환은 이산 시스템과 디지털 제어 시스템에서 주로 사용되는 수학적 도구입니다. 상태방정식이 연속 시간 시스템을 설명하는 데 사용되는 라플라스 변환에 대응하는 개념으로 보면 됩니다.

Z-변환은 이산 시간 신호를 복소 주파수 영역으로 매핑하는 연산입니다. 이산 시간 신호는 일반적으로 순차적인 시간 간격으로 샘플링된 신호를 의미합니다. 이산 시간 시스템의 상태방정식은 이산 시간 신호를 사용하기 때문에 Z-변환을 사용하여 주파수 영역에서 분석할 수 있습니다.

Z-변환의 정의는 다음과 같습니다:

X(z) = Σ [x[n] * (z^-n)]

여기서,

X(z)는 z-변환 결과,

x[n]은 이산 시간 신호,

z는 복소 주파수 변수,

n은 이산 시간 변수를 의미합니다.

Z-변환은 신호나 시스템의 주파수 응답을 분석하거나, 디지털 필터를 설계하는 데 사용됩니다. 또한, Z-변환은 이산 시간 시스템의 안정성을 분석하는 데도 사용됩니다. 이때, z-평면에서 단위 원 밖에 위치한 극이 없다면 시스템은 안정적이라고 볼 수 있습니다.

Z-변환은 이산 시간 시스템을 다루는 디지털 제어, 디지털 신호 처리 등의 분야에서 필수적인 도구로 사용됩니다. 이를 통해 연속 시간 시스템을 디지털 컴퓨터에서 구현하거나, 디지털 신호를 처리하는 알고리즘을 설계할 수 있습니다.